还有生活体验，不只是语文水平。
语文也依赖生活，如果我们没有对生活的体验，语文也恰似坐着坦克去郊游，不可靠了。

在上课期间，孩子们只好是多读书，多读好书，一旦到了假期，BBMM们还是要想办法安排他们出去走走，看看，想想，体验体验，放一段时间的“敞马”，拿于女侠的话说，那就是“野生”。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-6 15:48 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-25 15:00 发表

是人家说我们结党的。看来，不能照单全收。ccpaging的提议极具娱乐精神，我赞成，就叫：“我不知道”亲子数学社。可是，结社好象也要登记的。怎么办啊？

官：你要登记社团？
hxy007：嗯
官：名字是什么？
hxy007：我不知道
官：不知道就不用登记了，回去想好了再来
hxy007:好的

至此，社团登记办理完毕。.

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-26 16:57 发表

　　ccpaging对Alex的启发式辅导，其实就是前面说起过的苏格拉底产婆术。
　　如前所述，苏格拉底产婆术的基本精神就是，使自以为知者发现自己的无知，使自以为无知者发现自己的知识；简单地说，一个字“折腾”， ...

我今天收到了新订的5本《可怕的科学－数学系列》。另，已收到上次订了《高观点下的初等数学》，（谢谢火车给出的链接），只是最近没时间看，一本好书是需要一壶香茗、一张藤椅、懒懒的午后阳光和不经意的心情相伴的，不知道最近会不会有这样的机会。

看到了新书，儿子很高兴，一边翻看一边对我说：“爸爸，我要看多少书才能超过你？”
父：“你已经超过我啦。我原来学的虽然比你多，但都是旧知识了。你学的全是新的。”
子：“那我三年级就可以超过你了。”
父：“嗯”

记得儿子刚学游泳的时候，只会扑腾1、2下。我就站在儿子前面，儿子拼命地向我扑腾，可是老也够不着我张开的手臂，因为我一直在后退，好像很多游泳教练也是这么干的吧？而现在，儿子已经敢挑战他老爸的游泳技术了。

我相信：儿子一定会超过他老爸的，即使是在数学上，只要他想并且喜欢这么做。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:22 编辑 ].

一条大狗和一条小狗一起出去，大狗每5根电杆撒一次尿，小狗每3根电杆撒一次尿。

一共200根电杆，有多少电杆只被尿淋了一次，有多少电杆被尿淋了二次，有多少电杆幸免遇难呢？

这个问题很重要，因为电杆是木头做的，质量也不够好，被狗尿淋2次以后，工人要对这些电杆进行加固处理。
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Alex已接受了帮助工人的任务，只是他睡了一个午觉积累起来的智力，被2大页的语文试卷消耗殆尽，他准备带到学校跟好朋友一起做。

现在的语文也真无聊：
（）在虎门（        ）害人的鸦片。

这还是语文吗？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:23 编辑 ].

引用:

原帖由 咖啡豆 于 2008-12-27 20:36 发表

到处脱销，您在哪儿买的，链接也分享下，谢谢先

可怕的科学是淘宝上买的，没成套，东买几本西买几本，搜索到先旺旺看看有没货。
<高观点下的初等数学>是在出版社订的，地址在前面火车运茶的某个帖子里边。.

是日出差到外地，车上南柯一梦，梦见一只想飞的小天鹅经过刻苦的训练变成了一只再也不能飞的鸭子。
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小天鹅想飞

小天鹅出生的太晚了，秋天将要过去，尽管他日夜不停的练习，却只能飞上一小段距离。天鹅妈妈不能再等了，必须跟着其他天鹅一起飞向南方。妈妈临走的那一天，一直绕着小天鹅飞啊飞，听着小天鹅的哭声，久久不愿离去，直到别的天鹅已消失在天际，妈妈还在不断的叮咛着：“孩子，你要记住我交给你本领，明年的春天我会来接你的。”直到黄昏来临，小天鹅看着妈妈的翅膀变成了金色，越来越小，直到融入天边那火一般的云霞。

小天鹅留了下来，留在了鸭妈妈的家里。鸭妈妈家很大，小天鹅认识很多小鸭，他们是好朋友，经常一起玩耍。

（未完待续）
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实在是写不下去了，等出差回去，准备就这个题目一家三口一起来写、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-29 19:30 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-29 12:23 发表
　　《可怕的科学》是一套少儿科普读物，照它的意思可以读到初中乃至高中。但在我看来，大人也可以用它作为消谴或学习对象。年龄小的孩子，因为文字理解方面的问题，最初只是看其中看得懂的部分，年龄大些以后又翻出 ...

Alex现在是先快速阅读，一周不到的时间看了三本《可怕的科学》，然后选出一本再细细地阅读。现在的知识量太大，信息海量，快速阅读是很重要的阅读技能。这个不是我教的，他自己悟出来的。

现在Alex对《可怕的科学-密码学》特别感兴趣。我是我们家起身的最晚的，最近几天一睁眼就能看到Alex做的密码日报，前天是旗语，昨天是象形符号。MM很担心，Alex会不会沉迷于密码，而忽视了即将来临的考试。其实不会，数学需要灵感，需要悟性，而这些灵感和悟性往往不来自于数学本身，更不可能来自于教科书。

今天出差去了长途汽车站，候车一小时才能上车，看着熙熙攘攘的人群，猛然发现，其实我们小时候是有灵感的，是想飞的，经过长期刻苦地训练，灵感被磨灭了，落到了不能飞、不想飞的地步，只剩下吃苦耐劳这唯一的优良品质。最后只能跟一群大笨鸭挤在一群羊肠小道上，步履蹒跚，艰苦和坚定地走向一片并不丰美的小水洼。

令人扼腕！

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-29 19:47 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2008-12-30 11:36 发表
YANGXIMI　发表于2008-12-30 08:59
经允许转载于http://ww123.net/baby/thread-4602493-1-1.html

　　在蕃茄上小学之前，我是那么崇敬偶同事小L的儿子：才上三年级就已经跟在学五年级的班里学奥数了，并且还得了 ...

非常好的文章，非常好的数学学习方法。

用鸭群里边训练走路的方法，是不可能培养出会飞的小天鹅的。如果进那种机械训练的奥数班，最好的结果不过是培养出一批会走路的鸭子而已。

转一段将沈南鹏的文章：
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参加中考的时候，几门功课的满分是600分，沈南鹏居然考了594分！从小到大，沈南鹏得到的奖项包括全国数学竞赛一等奖、美国中学生数学竞赛海外赛区冠军等。

　　在1982年第一届全国中学生计算机竞赛上，沈南鹏和梁建章，这两个数学“小神童”同时获奖。这也是他们第一次相识。之后沈南鹏进入上海交大数学系，而梁建章就读于复旦计算机系。4年后，两人同时来到美国，沈南鹏在耶鲁攻读商学院，梁建章在乔治亚理工学院获得硕士学位。毕业后，一个在华尔街做投行，一个进了ORACLE(甲骨文)研发部。17年后，他们的命运再次在携程交叉。当然这是后话。

　　对于自己中学时的优异成绩，沈南鹏却相当忌讳———“在当时中国的考试体制下面都鼓励孩子拿最高的分数，却忽视了书本以外的东西。孩子读书成绩不错，但是能不能适应社会，会不会高分低能，这些都是我对于高分的担忧。”沈南鹏说。

　　沈南鹏也不认为自己在数理方面有特别的天才。“我在中学时代特别专心地做一件事情，就是把书读好了，很少关心功课以外的东西。很多情况下并不是说你有多大的才能，而是你有时间的投入必然产生回报……我有没有数学天才？很难说。我每个星期在上海市少年宫数学组花两三个小时参加少年班，经过这样数学的培训你也可能成为数学天才。”对于充满光环的少年时代，沈南鹏没有丝毫的自得。

　　“我进入交大自然选择数学专业。”沈南鹏介绍，“在大学一年级，有次我参加上海市三好学生的考察团，去了四川边远山区，发现自己太多的时间精力花在书本上面，应该要有更广的视野。以前仅把时间放在书本上，忽视了很多的东西。”

　　由上海交大升入哥伦比亚大学数学系后，沈南鹏越来越意识到，数学并不适合自己。“我并没有意识到自己的长处在哪里，这么多年数学的训练，我的逻辑思维能力很强，便误以为自己能成为数学天才和专家，但这两者并不能划等号。”
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同时代的另一人物 -- 澳籍华裔数学家陶哲轩
    澳大利亚籍华裔陶哲轩博士是美国加州大学洛杉矶分校数学系教授，2006年8月因对偏微分方程、组合数学、混合分析和堆垒素数论的杰出贡献而荣获菲尔茨奖，成为继美籍华人数学家丘成桐教授后全球第二位获此大奖的华人。
                         一
    陶哲轩英文名Terence  Tao，1975年7月15日出生于澳大利亚南部城市阿得雷德。父亲陶象国和母亲梁蕙兰均是中国人，并均毕业于香港大学，1972年从香港移民到澳大利亚。陶象国后来成了一名儿科医生，梁蕙兰则曾做过中学数学教师。陶哲轩是长子，家中还有两个弟弟：哲渊和哲仁。
    陶哲轩从小便表现出令人惊讶的聪颖而倍受家庭和社会的关注。他两岁时就对数字有特殊的偏好和天份，学会阅读和加减法，还试图教别的孩子算术，甚至可以用打字机比照着儿童书打出整页的字。陶家父母意识到儿子是个神童，于是不断为他买书、借书，鼓励他读书探索。3岁半时，他的父母曾将他送进小学。陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，但在体格上却逊于比自己大两三岁的同学，儿童间的淘气和冲突迫使父母不得不让爱子退学，将其寄托到幼儿园。陶哲轩在幼儿园里与同龄孩子成长到5岁，便再度迈进小学的大门，插进二年级学习，数学课则与五年级学生一起上。7 岁时，陶哲轩开始自学微积分。后来测试表明，陶哲轩的智商高达221，比正常人的智商高出近100。8岁时，老师和父母意识到小学课程已经无法满足陶哲轩的需要，便让他跳级进了中学，并请了当地数学教授专门对他进行辅导。9岁时，陶哲轩一面在中学读书，一面到离家不远的弗林德斯大学学习数学和物理。1986年，11岁的陶哲轩代表澳大利亚参加在波兰华沙举行的国际数学奥林匹克竞赛，获得了铜牌。此后他又连续两次参赛：1987年，在哈瓦那，他获得银牌；1988年，在堪培拉，他获得金牌。1989年，14岁的陶哲轩正式进入弗林德斯大学学习数学。1992年，他获得数学学士学位，年仅17岁。是年，陶哲轩获得富尔布赖特奖学金，前往美国普林斯顿大学学习，一年后拿到硕士学位。1996年，年仅21岁的陶哲轩获得博士学位。他的导师、沃尔夫奖获得者埃利亚斯.施泰因教授高度评价自己的学生说：“陶哲轩是个百年难遇的奇才。”同年，陶哲轩受聘为美国加州大学洛杉矶分校助教。1999年，24岁的陶哲轩成为美国加州大学洛杉矶分校终身教授。
                        二
    陶哲轩热爱数学，喜欢花大量时间反复思考数学难题，直到彻底理解为止，对任何没弄明白的东西，不搞清楚他是不会罢休的。在数学家们的眼中，陶哲轩是一位解决问题的高手，是数学研究失败的“救火员”，“如果你在一个问题上被卡住了，其中一个办法就是让陶哲轩对它感兴趣。”陶哲轩善于倾听别人的意见，善于向别人学习，也擅长向别人清楚地解释自己的想法，许多一流的数学家喜欢与他一起工作。陶哲轩能发挥每一个合作者的优势，团结大家攻克一道道世界级的难题。陶哲轩曾先后发表了100多篇高质量的数学论文，其中有30多篇系与他人合作，是美国研究成果最多、最受尊敬的数学家之一。
    2004年4月18日，陶哲轩和加拿大不列颠哥伦比亚大学的数学家本.格林在网站上发表一篇50页的论文，宣称证明了“存在任意长的素数等差数列”，他们的发现揭示了素数中存在的某种规律。
    素数是指自然数中大于1且只能被1和自身整除的正整数，公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得已经证明素数的数目是无穷的。等差数列是指一组数列中前后两个数之差为恒定常数的数列，由素数构成的等差数列被称为素数等差数列。数学家们一直认为，由素数构成的等差数列可以任意长，但由于没有人能证明它，这个问题只能是个猜想。直到1939年，荷兰数学家Johannes van der corput证明，有无穷多个由3个素数构成的等差数列。之后，英国大数学家Atath Brown证明，由前面三个素数和后面不超过两个素数的乘积构成的4个数的等差数列有无穷多。1975年，匈牙利科学院的数学家施米列迪证明，在任何不会快速稀疏的整数子集中，肯定会有任意长度的等差数列。2002年，陶哲轩和格林着手证明施米列迪定理在某种特定性质的素数子集中也成立，他们用了两年多的时间分析施米列迪定理，以便它能解决素数的问题。2004年，两人将论证结果写成长达50页题为《素数含有任意长度的等差数列》的论文张贴在网站上，并寄给了《美国数学年鉴》，宣布他们证明了“存在任意长度的素数等差数列”。
    陶哲轩和格林的成就立即在国际学术界引起轰动，当年5月21日出版的美国《科学》杂志报道说，“两位数学家用数论中一个令人眩晕的突破结束了一个问题。”美国《发现》杂志将陶哲轩和格林在素数方面的研究评选为2004年100项最重要的发现之一。2006年8月28日，在西班牙首都马德里举行的国际数学家大会上，国际数学联盟主席约翰.鲍尔宣布：陶哲轩和俄罗斯人佩雷尔曼、美国普林斯顿大学的欧克恩科夫、法国巴黎第十一大学的沃纳共同获得菲尔茨奖。颁奖词称“陶哲轩是一位解决问题的顶尖高手，他的兴趣横跨多个数学领域，包括调和分析、非线性偏微分方程和组合论。”因他对偏微分方程、组合数学、混合分析和堆垒素数论的杰出贡献而颁授予其殊荣。菲尔兹奖是以已故的加拿大数学家约翰.查尔斯.菲尔兹的姓氏命名的最著名的世界性数学奖，它包括一枚阿基米德浮雕头像的金质奖章和1500美元的奖金，其最大特点是奖励年轻人，只授予40岁以下的能对未来数学发展起到重大作用的数学家。菲尔兹奖由数学界的国际权威学术团体——国际数学联合会主持，从全世界一流青年数学家中遴选出2－4名获奖者，在每隔四年召开一次的国际数学家大会上隆重颁发，由于诺贝尔奖没有数学奖，因此也有人将菲尔茨奖誉为数学中的“诺贝尔奖”。从1936年开始到2006年获菲尔兹奖的已有48人，陶哲轩是继1982年华裔数学家丘成桐教授后获此殊荣的第二位华人。
    此前，陶哲轩曾获得多个学术大奖，2000年获颁塞勒姆奖，2002年获颁博谢纪念奖，2003年获颁克雷研究奖。2005年，他获得利瓦伊.L.科南特奖。2007年，他荣获麦克阿瑟天才奖的50万美元奖金。2008年4月，美国国家科学基金会宣布，将2008年的艾伦.沃特曼奖授予陶哲轩，奖项包括一枚奖章和3年共50万美元的科研经费。此外，2006年10月的美国《大众大学》杂志将陶哲轩评为“最具才气的十位科学家”之一。2007年，陶哲轩当选为英国皇家科学院院士和澳大利亚科学院院士。是年，他被评为“澳大利亚年度人物”候选人，澳大利亚两家博物馆索取了他的照片，以供永久展览。2008年，美国《探索》杂志评选出美国20位40岁以下最聪明科学家，陶哲轩位居榜首。
                        三
    陶哲轩温文尔雅，平素戴黑框眼镜，长得跟数字一样斯文清瘦，说话带点澳大利亚口音。与他相处的同事表示，陶哲轩的获奖并无悬念。“我并不惊讶，”美国洛杉矶加州大学物质科学学院院长陈繁昌教授说，“像他这样的人数十年才出一个。他解决了几个数学领域中困扰别人多时的重要问题。”洛杉矶加州大学数学系前主任约翰.加内特说：“他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的。不同的是，他没有莫扎特的人格问题，所有人都喜欢他。他是一个令人难以置信的天才，还可能是目前世界上最好的数学家。”普林斯顿大学的查尔斯.费弗曼教授回忆说，陶哲轩12岁到普林斯顿大学参加考试时，“我只认为他比我遇到的其他神童稍具优势。现在看来，他实际上有很强的优势。”“他真的很棒，一代人中只有几个这样的人，而他是其中之一。”费弗曼还说，陶哲轩在数学的诸多领域都有重大影响，他超凡的独创性往往使其他数学家纳闷：“为什么其他人以前没能看到这一点呢？”
    面对国际数学界的一片赞美声，陶哲轩十分谦逊，他说：“我并没有任何超能力。”他认为自己的成功秘诀在于喜欢刨根究底和寻求创新，“许多人面对数学问题时，总是想着直接的解决方式，但是他们获得的只是答案。而我计算一些细节之前，更喜欢研究策略，我更想知道如果我做了一些细微的改变，会发生什么？原来的方法仍然可行吗？”他说：“培养对数学的兴趣的最重要的一点就是跟数学一起玩，给自己找些小挑战，设计一些小游戏等。”“如果你想学好数学，必须从一些最基本的训练开始，好比你想成为一个钢琴家，就得从大量的练习曲开始，虽然这些训练往往是乏味的。”他指出，“在真实的数学世界里，数学研究应该像马拉松。”“现在我仍在继续进行我的研究项目，我想要解决的那些难题，并没有因为获奖就魔法般地自动得到解决。”他说：“我不希望看到数学家被过多地神秘化，我希望公众能更容易接近数学家，尽管我本人不知道如何实现这些目的。”
                         四
    陶哲轩说：“在我成长过程中，中国和澳大利亚文化对我都有熏陶，我不知道自己是否能够区分其间的差别。”他通晓英语、拉丁语、法语和德语，却不会说中国话，惟一会书写及发音的三个汉字是自己的名字：陶哲轩。他从中国文化里学到了保持谦逊，从不自大。他的妻子劳拉是美国国家宇航局喷气推动实验室的工程师，参与了火星探测计划，两人有一个儿子威廉，一家三口居住在美国加利福尼亚州洛杉矶市。
    陶哲轩的弟弟也是澳大利亚知名的神童，智商均很高。二弟陶哲渊比陶哲轩小两岁，智商超过150，曾获澳大利亚的国际象棋冠军，有着非凡的音乐天资，一个完整的管弦乐队演奏的乐章，他只要听一遍就能在钢琴上弹奏出来。陶哲渊获得科学数学及音乐双博士学位，现在澳大利亚国防科技局工作。三弟陶哲仁智商亦达180，同时拥有经济学、数学和计算机科学等多个学位，现在是谷歌澳大利亚分公司的计算机工程师。他也拥有不同寻常的数学、音乐才能和拿手的棋艺，能熟练操作四种乐器。
    作为这三个天才的父亲，陶象国以“幸运”来形容自己的家庭，他说道：“不管他们聪不聪明，我们只是给予他们一切我们所能办到的，而我的妻子更辞去数学教师之职，以满足孩子的特别需求。”夫妇俩加入了澳大利亚天才儿童协会，向专家学习了很多培养孩子成长的知识。陶象国说，“我们一直倾向于强调学习的乐趣，”“乐趣就在做事情本身，而不是去赢得什么。”“如果你发现了一个天才，最重要的是给他自由，让他玩，让他有时间想自己的东西，否则，他的创造力很快会枯竭。”“对于孩子，只可以带引他，鼓励他，教他怎么走，但中国很多父母望子成龙，推孩子的速度太快，但推得太快，可能走不稳，就会跌倒。”他认为，“少年时拿到学位，做一个打破记录者，这毫无意义。我把知识比作金字塔，基石打得宽阔坚实，金字塔才能向更高处拔。如果你像建一个柱子一样一心只想快点往上，到了高处就会摇晃，然后坍塌。”“在培养孩子的过程中，我们只告诉他们什么是‘好’，什么是‘坏’，而不是‘东方’和‘西方’。也许在政治和体育中，人们更多地倾向于国家、民族概念，但数学是一种世界性语言，它跨越了不同国家和文化的边界，这正是21世纪这个世界的走向。”

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“直到蕃茄小声嘀咕了一句：‘从后面两个式子看，我们可以知道一件事情，那就是C比B大3！’”这也是从小番茄身上流淌出来，不是番茄汁，而是真正的数学。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-30 20:47 编辑 ].

http://math.cersp.com/Specialty/ChuZh/Edu/200812/6834_3.html

历史与现实：中国奥林匹克数学竞赛现象的背后
作者：熊斌 葛之    文章来源：数学教育学报    点击数：99    更新时间：12/1/2008
    中小学“奥数班”过于火热，并且日趋功利化和低龄化。近一段时间来，媒体对“奥数(奥林匹克数学竞赛)”和“奥数班”一片讨伐之声。北京、广东、河北、浙江、江苏等地纷纷出台规定或采取措施，禁止举办收费的“奥数班”和叫停“奥赛”。尤为引人注目的是，著名华人数学家、菲尔兹奖得主丘成桐发表看法说，“奥数”无助于甚至不利于培养学生的创新能力，影响了学生的全面发展，“奥数”培养不出大数学家，他不赞成中国以“奥数”的形式培养学生。
　　我们该如何看待中国的“奥数”热？奥数竞赛是扼杀孩子的天性，还是开发他们的潜能？

　　历史的视角：追问原因

　　1894年，匈牙利教育部门通过一项决议，准备在中学举办数学竞赛。当时著名科学家埃特沃什男爵担任教育部长。在埃特沃什的积极支持下，这项比赛得到了发扬光大。这是世界上最早的有组织地举办的数学竞赛。后来匈牙利也确实产生了许多著名科学家，比如分析学家费叶尔、舍贵、拉多、哈尔、里斯，组合数学家蔻尼希，以及著名力学家冯·卡门，著名经济学家、1994年因博弈论而获诺贝尔经济学奖的豪尔绍尼等鼎鼎大名的人物。

　　其他国家也纷纷效仿。罗马尼亚、保加利亚、波兰和捷克斯洛伐克分别于1902年、1949年、1950年和1951年开始举办中学生数学竞赛。特别值得一提的是两个超级大国———前苏联和美国。1934年，在当时的列宁格勒(今圣彼得堡)，由著名数学家狄隆涅主持举办了中学生数学竞赛；1935年，莫斯科也开始举办。这两个竞赛都一直延续至今。但是，全俄(后改“全苏”)数学竞赛直到1961年才开始。前苏联把数学竞赛称作“数学奥林匹克”，认为数学是“思维的体操”，这些观点在教育界一直有着很大的影响。

　　在美国，由于著名数学家伯克霍夫父子和波利亚的积极提倡，于1938年开始举办低年级大学生的普特南数学竞赛，很多题目是中学数学范围内的；普特南竞赛中成绩排在前五位的人，就可以成为普特南会员。在这些人中有许多杰出人物———菲尔兹奖获得者芒福德、米尔诺、奎伦和诺贝尔物理学奖得主费曼、威尔逊等。1972年起，为准备国际数学奥林匹克而开始举办美国数学奥林匹克，它的命题水平也非常之高。最终选拔出来的国家队队员在西点军校等地集训，并与父母一同到白宫接受总统接见。

　　50年代，罗马尼亚的罗曼等人认为时机已经成熟，可以举办国际性的数学竞赛了。这就是影响最大、级别最高的中学生智力活动———“国际数学奥林匹克”的由来。按照英文缩写，就是现为大家所知的IMO。第一届IMO于1959年在罗马尼亚举行，当时只有七国(罗马尼亚、保加利亚、波兰、匈牙利、捷克斯洛伐克、前民主德国、前苏联)参加。后来，美、英、法、德等老牌资本主义国家和亚洲国家也陆续参加。在今天，IMO已波及到几乎所有的文明国家。

　　除了最初几届，IMO共有6道试题，正式比赛分两天，每天做三个题目，总共9小时。每题满分7分，总分42分；团队总分252分。大约有十二分之一的学生可以获得金牌。银牌和铜牌的数量分别是金牌的2倍和3倍。IMO试题遍及的数学领域包括：数论、多项式、函数方程、不等式、图论、复数、组合、几何和博弈游戏等几大板块，这亦构成了各国数学竞赛的命题方向。

　　IMO为发现数学人才做出了贡献。许多IMO优胜者后来成了杰出数学家，如沃尔夫奖获得者卢瓦兹、菲尔兹奖获得者德林菲尔德、约克兹、博切兹、高尔斯、马古利斯、拉佛阁等(其中前5位得过金牌)。

　　由于众所周知的原因，中国的数学竞赛起步较晚，但后劲十足。“我们也要搞数学竞赛了！”华罗庚说。1956年，首先在北京、天津、上海和武汉举办了一次数学竞赛；由于政治运动的影响，这一活动时断时续；1962年政治环境开始好转，北京等城市又举办了几次。到了“文化大革命”，教育陷入了全面瘫痪的状态。相比之下，前苏联在战争和政治恐怖的恶劣环境里，还能坚持举办数学竞赛，莫斯科竞赛只在1942—1944年中断了三次，实在是难能可贵的。

　　1978年，“科学的春天”到来了。华罗庚旋即主持了全国八省市的中学数学竞赛。1985年华去世，为了纪念他，于1986年开始举办低年级的“华罗庚金杯赛”，影响很大。1981年，中国数学会决定举行全国高中数学联合竞赛。

　　1981年，作为IMO东道国的美国邀请中国参加IMO。直到1985年，我国才派出两名选手非正式地参加了IMO，成绩不很理想。于是在全国联赛之后再安排搞一个“冬令营”，后也称“中国数学奥林匹克”，团体第一名获得“陈省身杯”，在此基础上再进行选拔，以组建6个人的国家队。1986年起，除了在台湾举办的一次，我国都派足6名选手正式参加IMO。除了三次成绩稍有点偏后，中国总是第一、二名，而且以第一名居多。物理、化学和计算机竞赛的情形也差不多。如今，中国选手在国际上摘金夺银、凯旋而归已成家常便饭。这些辉煌成绩固然离不开层层选拔与培训，但与今天的奥数热并无直接关系，以前中国队的成绩也很好。

　　奥数在1990年代初期并不热，那个时候文科(特别是财经类)十分吃香。一切等到1998年以后，奥数突然变热。最直接的原因是初中入学考试取消，这一“减负”举动反而增加了学生的负担，不少中学为了招收更多的优秀生源，把奥数作为标准。其次，是因为高校开始扩招，大家都意识到，大学生不再是“天之骄子”，只有进入名牌大学热门专业，才有更大的出路，而奥数又自然成了进入这些好专业的敲门砖。

怎么办？数学家的观点与智慧

　　“在(数学)竞赛中获胜，自然会感到高兴甚至自豪，但在竞赛中受挫，却不需过分悲伤，也不必对自己的数学能力感到失望。为在竞赛中获胜，是需要凭借一些专门的天赋的，但这些天赋对卓有成效的研究工作却完全不是必要的。”

　　这是伟大的前苏联数学家柯尔莫哥洛夫为一本奥数书写的序中的片段。对于数学教育，柯氏亦不乏独到见解。他指出，数学竞赛首先是培养学生对数学的兴趣，发现他们的数学才能。如果这一工作没有预先做好，在低年级就大搞数学竞赛，拔苗助长，多数人将会逐渐失去解题本领，甚至失去对数学的兴趣。

　　这确是真知灼见！在我国，柯氏的担忧确实得到了不断的印证。原因在于，中学数学所强调的逻辑严密性，与小学竞赛的智力游戏有较大差异。如果基础没有打好而进行带有很大偏向性的培养，很多学生将不能适应中学阶段的数学；而大学阶段的数学又与中学数学有很大不同，这也是为什么有些奥数高手并不适合数学研究的一个原因。

　　怀尔斯，这位解决费马大定理的伟大数学家，却被高尔斯评价为“不是天才”。高尔斯是菲尔兹奖获得者、IMO金牌选手。他的根据之一就是怀尔斯没有拿到过IMO金牌。高尔斯并不是刻意贬低怀尔斯。他的话有两层意思，一是说明艰苦的科学研究和奥赛的重大区别；其次，他也认为在IMO上拿到奖牌是需要数学天赋的。

　　国外奥数选手的培训没有我们这样的规模，所以在IMO中得到奖牌的人确实十分聪明。比如1990年北京IMO中四个满分选手之一的小拉佛阁，他的哥哥在2002年获得菲尔兹奖；而人们认为小拉佛阁更有天才，他已得到很多大奖，将来也极有可能问鼎菲尔兹奖。相比之下，中国的各级奥数优胜者也有工作做得很好的，但目前还没有取得菲尔兹奖级别的成就，这与他们在大学、研究生期间的学习方式也有很大关系。

　　中科院院士、著名数学家王元认为，总体来说，中国竞赛的命题水平较高，但与国际上比较尚有一定距离，某些难题出得过偏。命题水平的高低体现在它是不是具有好的启发性以及趣味性。华罗庚也认为，出好题比解题更不容易。事实上，中国队在国际上拿到第一名也并不是像某些人想像的那样十拿九稳，至少俄罗斯和美国的实力决不容小视。特别是，做偏题对于成为一名优秀数学家不利，故而引起了丘成桐的忧虑。

　　相比之下，前苏联的命题水准就比较高。比如，莫斯科竞赛中有这样一道题：阿里巴巴试图潜入山洞。在山洞入口处有一面鼓。鼓的侧面有四个一模一样的小孔，组成正方形的四个顶点。在每个孔的里面各装有一个开关。开关有“上”“下”两种状态。(注意：眼睛看不见！)如果四个开关的状态全都一致，洞门即可打开。现允许将手指伸入任意两个孔，触摸开关以了解其状态，并可随自己的意改变或不改变其状态。但每当这样做了之后，鼓就要飞快地旋转，以至在停转之后无法确认刚才触动了哪些开关。证明：阿里巴巴至多需将手指伸入五次，就可以进入山洞。

　　容易知道，两次操作(一次靠边的两小孔，一次对角线上的两小孔)把不少于3个开关扳为状态“上”，如果大门没有打开，这就意味着第四个开关处于状态“下”，这时阿里巴巴应将手指伸入对角线上的两个孔，如果碰到向下的开关，把它扳为“上”，从而进入山洞；如果这一对开关均向上，则把其中之一扳为下。这样，显然两个靠边相邻的开关“上”，另两个相邻开关“下”。然后阿里巴巴沿着正方形边入手；如果两个开关处于同一状态，他就改变它们状态从而进入山洞；如果两个开关状态不同，他应该都改变状态，最后一次沿对角线找到开关，改变里面的状态，这样最多五次。

　　这道题目十分精彩，它考察的是在不同信息下的决策，需要你对问题本质的领悟和洞察。前苏联竞赛中这样的好题比比皆是，思考这些问题应该说是有好处的。
进一步的追问：深层次的问题

我国的奥数现象背后是有些深层次的问题。“万般皆下品，唯有读书高”、“学而优则仕”，这种功利主义态度(不管是不是孔夫子的本意)不知毁了多少有才华的人，挤掉了他们的自由发展空间。今天，很多家长自己没有受到良好的教育，加之只有一个孩子，自然把希望尽数寄托在孩子身上，于是追求功名从古代社会的少数人演变成一支浩浩荡荡的大军。正是由于自己没有文化知识，所以教育方式也不当，把分数看得比什么都重要，甚至无知地认定自己的孩子就是天才，极大地忽略了孩子的道德教育与心理素质的培养。

目前的中国之所以成为一个考试大国，正是由于目前的诚信度过低，除了考试、竞赛，好像很难想得出更加公正、客观的遴选人才的办法。那些成天批评高考指挥棒的人可曾想过，如果取消或削弱高考，像美国一样由老师参与推荐会发生什么事情。相比之下，数学比文科、艺术更加客观公正，而且考试成本又低，不像做实验条件太高。因此，中国青睐以数学竞赛作为选拔人才的标准之一，也有其必然的道理。

　　说到这里，笔者不妨多说几句，其实比奥数更不合理的是英语考试。根据我们的调查，不参加奥数的学生只要各门功课平衡发展，考一所理想的大学应该是不成问题的；事实上像上海中学这样的“奥数重镇”，对学生的全面发展要求极高。全国高中数学联赛也规定，一试的基础分不到要求，二试的难题全都做对也不能得奖。而英语就不同了，简直是人人非得过的“坎”：考研主要就是用很难的英语来“卡人”的；而工作以后评职称，主要也是考英语，这就更不合理了。有的老同事工作能力很强，结果就在英语上栽了，你说他冤不冤？

　　我们同不少家长交流过，发现并非所有家长都对教育无知。他们认为，从长远的角度看，数学对于培养一个人的逻辑思维能力和科学理性精神有着不可替代的作用，并且对孩子将来的大学专业和工作有实质性的影响。如果小时候数学基础没有打好，长大以后再补根本没有可能。从短期的角度看，家长也懂得，数学的相关性最好，数学可以很有效地带动理化和计算机的学习，而补习文科的效果相对就未必那么地好(当然这确也是有些功利了)。

　　在这两点上，一批教育专家的“宏观观点”与家长的“微观观点”有一定的合拍之处。首先，从长远角度看，奥数主要不以培养数学家为己任，而主要是为优秀学生提供一些机会，因此只能说奥数高手同数学家有较高的相关性。而一些奥数高手未能成为数学家的最主要原因不是奥数本身，而是急功近利，这一点陈省身看得最明白，他说，中国之所以出不了高斯，乃是因为聪明人都想着升官发财。

　　最后一个微妙的原因也值得一提，我国有几十年尊崇数理化的历史；对大学生的多次调查表明，最受尊敬的总是科学家。究其原因，一方面是学习前苏联对哲学社会科学的压制，另一方面是现代主义中一股崇尚理性、蔑视感性的霸权心态。如今最突出的例子就是一部分艺校为了“凑数”而招收一批文化课很差的学生，让艺校成了“回收站”，这激起了有关人士的强烈不满。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2008-12-30 20:56 编辑 ].

太皮了，被规了。我还有至少两篇研究待完成，会完成的。

前两天我一北大同学还在我这仔细地阅读此帖。

有空打印出来留着纪念。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-4 23:42 编辑 ].

先要明确是逆向思维，有点像语文里边的倒叙，不过比倒序还要倒，更像是电影里边的回放，因为“三层一样多”的结果是确定的。记得有部卓别林的片子，卓别林刚走过斧头，斧头就砸下来了，几乎是紧挨着卓别林的脚后跟，这个镜头就是用回放实现的。

其次，严格按照回放的思路进行研究。第三层、第二层、第一层。

另，用实实在在的笨办法，拿30本书，或者画图，体验一下。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:25 编辑 ].

要是有摄像机、照相机、手机带录像，还可以做卓别林的那个试验。

一个人手拿餐刀候着，一个拿布娃娃，倒退到餐刀出，拿餐刀的人猛然抬起，布娃娃通过。第三个人把过程录下来。

回放以后，效果令人惊奇。
===================
拿餐刀不好，请勿模仿。想想改一下，轻功、仙女都可以，主要是想形象地表现这种逆向思维的方式。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-4 23:55 编辑 ].

引用:

原帖由 咖啡豆 于 2009-1-4 23:48 发表
这个不能接受，妈妈教孩子时就不忍心很暴力的内容。
我还是走实践路线，还好是30本书，要是300本咋办，哦我可以除以10来做。

是的，可以化繁为简，找到思路以后再扩展出去。大狗小狗的那道题有200个电线杆，我就是让儿子这么考虑的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-4 23:55 编辑 ].

一、塔尖有几盏灯（中国古算题）
    远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。
    共灯三百八十一，请问塔尖几盏灯。

二、物不知数（中国古算题）
    今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

三、韩信点兵（流传民间的古算题）
    有兵一队，若列成五行纵队，则末行1人，若列成6行纵队，则末行5人，若列成7行纵队，则末行4人，若列成11人纵队，则末行10人，求这对士兵的人数（已知这队士兵人数在2000止3000人之间）

四、百鸡问题（中国古算题）
    今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母雏各几何？（此题是一千五百多年前我国南北朝数学家张邱建用解不定方程之法求得其解，就是传颂与全世界的“中国不定方程”）

五、丢潘图活了多少岁？
    “丢潘图一生，六分之一是幸福的童年，青少年时代占了他一生的十二分之一，随后的七分之一，他过着独身的生活，结婚后五年生了一个儿子，他感到很幸福，可是这孩子的生命只有他父亲的一半，儿子去世后，丢潘图就在深深的悲痛中活了4年，结束了生命”请问丢潘图活了多少岁？（丢潘图是古希腊的一位伟大的数学家，他去世后，文学家麦特罗多尔为了纪念他，写了上面的一段话刻在丢潘图的墓碑上，这篇墓志铭就是一道流传中外的数学名题。）

六、牛吃草问题（牛顿问题）
    牧场上有一片青草，每天都生长得一样快，这片青草可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？（此问题是英国数学家、物理学家牛顿编写的《算术》一书中的一道流传甚光的数学名题，被称为牛顿问题。）

七、割草人问题（托尔斯泰欣赏的算题）
    一组割草人在两片草地上割草，大的一片草地比小的一片草地大1倍，全体组员用半天时间割大草地，下午他们便对半分开，一半仍留在大草地上，傍晚正好将草割完，另一半人到小草地上割草，到傍晚还剩下一小块末割完，这一小块若由一个割草人割，要一天时间方能割完，问这组割草人有多少人？（本题一般用方程可解，但若用图形辅助解答则更容易。这就是俄国伟大的文学大师托尔斯泰非常欣赏的方法。）

八、轮船相遇问题（外国名题）
    每天中午，某航运公司用一艘轮船（记为L船），从巴黎的外港——塞纳河口的勒阿佛尔开往纽约，在每天同一时间也有该公司的一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔，轮船在横渡大西洋时所花费的时间正好是七天七夜，假设在全部航程中轮船是匀速行驶的。轮船在大西洋上按照一定的航线航行，在近距离内彼此可以看得见，问今天中午勒阿佛尔开出的L船，到达纽约时，将会遇到多少艘该公司的轮船从对面开来？（本题是19世纪法国数学家刘卡在一次国际会议中提出的问题。）

九、马车对开问题（外国古算题）
    东西两城各有一个车站，马车来回相对着走，东站有马车16辆，西站有马车14辆，假设每天从东站往西站开的马车有6辆，从西站王东站开的马车有8辆，问几天以后东站的马车是西站的四倍？（本题在公元629年的一天，在古印度首都广场中心，数学家们开展才智比赛时，杰出的数学家婆罗摩及多提出的数学名题，关系不明显，婆罗摩及多采用逆推分析法，巧妙地解答了这仪复杂的问题。）

十、兔子问题（外国古算题）
    设有一对兔子，每个月都生出一对小兔，生出的小兔一个月便长大，第二个月，每个月又都生一对小兔，那么，从一对刚生下的小兔子开始，满一年时间共可繁殖成多少对兔子？

十一、足下高徒
      必达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊的数学家、天文学家、哲学家。
      有一次必达哥拉斯去参加朋友的宴会，当主人向客人介绍必达哥拉斯是当地的知名学者时。在场的达官显贵们很不以为然。在场的达官显贵们轻视地看着这位穿着简朴、貌不出众的老者，有不少人还带着讽刺之意在窃窃私语。在人群中有以为穿着锦稠衣裤的富家子弟用挑衅的口吻喊到：“必先生是本地的著名学者，那么请问足下有多少高徒？”

      必达拉斯则慢条斯理道：“我的学生1/2在学数学，1/4学音乐，1/7学哲学。此外还有3名女生。”当时这位富家子弟说不出话，只是尴尬地在傻笑，他不知道必达哥拉斯到底有多少名学生。那么，他究竟有多少名学生？

十二、鲁卡问题
      有A、B二人用掷币赌钱。他们共同确定了如下的游戏规则：如果掷出的币朝上，A赢；如果反面朝上，B赢。赌注是100元。他们还约定：第一个胜六局的，赢得全部的赌注。由于意外原因，游戏中途结束。这时，A胜5局，B胜3局。问题是：A与B应当怎样分那100元的赌注？

十三、药丸案（旺旺名题，作者：hxy007及其儿子同学）
      有243粒形状和颜色都一样的药丸，除其中1粒稍重一点之外，其它药丸都一样重。试用一个天平找出这粒稍重的药丸，请问：至少要秤几次，才能确保一定能够找到那粒稍重的药丸？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-13 13:53 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-5 23:53 发表
　　老大把本帖移回了小学圈，并授予“精华”之荣誉。前面被执行到“争议沟通”圈，据说是因为有人投斥受到人身攻击。老大明鉴，给予平反昭雪，非常感谢！也感谢各位的支持！“我不知道”亲子数学社并没有终结，让我 ...

低调，要低调。说有“人身攻击”也不算冤枉，我有错，我认罪，下不为例。.

引用:

原帖由 sask 于 2008-12-24 16:33 发表

... 刚才儿子给他老爸出了几十页的考题，考关于一个网络游戏的常识。我忽然灵光一闪，知道怎么做了--请他也给我出考题，考数学。改由他主动，我被动，或许能够促进我们亲子间的数学互动？

我觉得可行。

特别是低年级的孩子刚进入学校或者刚开始接触一些原来完全没有经验的学科，这个状态跟第一次跳进游泳池是有一些类似的。当然我们可以一把把孩子扔进去，让他自己学会游泳，不过这样做成功率比较低，孩子也可能产生被抛弃的感觉。现在游泳教练的教学方法改进了，他会抱住孩子完成人生的第一跳，第二跳，第三跳，使孩子能更好地克服恐惧，获得初步的良好体验，然后鼓励、引诱、甚至推孩子一把，让孩子能自己跳进游泳池。

所以，我理解的亲子数学还是强调跟孩子共渡进入学校的最初几年，至于什么方式其实不重要，哪怕是孩子在做作业，你在一旁拿张报纸看也是好的。当然，如果在此基础上，能寻找到共同的话题，共同的兴趣，这段时光就能够更快乐一些。

其实，观察观察别人，再想想自己小时候，父母和孩子能玩到一起的时间并不多，也就是小学，也许初中还能一起玩1、2年，其后，孩子很快就进入逆反期、成长期、成熟期，那时要还能跟孩子一起玩的可能性会非常小。

把握当前的美妙时光，尽情享受吧。

另，前面我写过一些很枯燥的父子对话，其实只是一些我跟儿子之间发生的一些真实的有趣的故事，但受个人文笔所限，局外人看起来可能会觉得枯燥乏味。其实大家不用去当真需要去仔细领会对话里边具体的讲的是什么，有时候可能只需要一个开头，或者只需要一个结尾，或者只是一个奇思妙想的种子，或者只是一个失败的教训。在真正跟自己孩子玩的时候，各人一定会采取各自不同的方式、方法，或者探讨完全不同的数学，只要是玩游戏的双方都有兴趣，就可以了。

在此也鼓励各位BBMM把这些有趣的数学故事写下来，与大家共享，如果你喜欢的话。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:27 编辑 ].

把数学学习和乘车比较的话。
1年级＝莘庄站
原来我们是在初中学方程式，也就是火车北站站（初中）转乘2号线去五角场（大学）。那么这道奥数题等于是一直杀到共富新村了，也就是说，在算术上搞的太深入了，将来要去五角场，反而很不方便。

Jupiter的儿子不会考虑用最大互质因子去解这道题，个人认为很正常，因为他已经掌握了更高层次的数学，初等代数，何必绕个弯回去呢。

很多小学高年级的老师一直在研究这个问题。目前普遍的意见是，与其从共富新村转地面交通那么麻烦，不如把聪明的孩子放到上海体育馆转2号线，也就是在更低的年级学习方程式。

不过这对孩子和老师的要求都很高，方法和度上很难把握，需特别慎重。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:28 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-6 17:12 发表
“父母和孩子能玩到一起的时间并不多，也就是小学，也许初中还能一起玩1、2年，其后，孩子很快就进入逆反期、成长期、成熟期，那时要还能跟孩子一起玩的可能性会非常小。”
谬论！你难道不会老了么，老了不是还能和 ...

嗯，我是以己度子了，写得危言耸听了一点，我跟儿子是好朋友，跟我老爸现在也是好朋友。

关于游泳的问题，恰巧我同学跟我谈到这个问题，他是把孩子扔在水里的，扔过几次孩子适应了，可是孩子又怕呛水，他直接按头闷了几次。讲讲可怕，但是我们小时候都是这样学游泳。不过，这次的结果完全出乎我同学的预料，他的孩子以后再也不去游泳了。

我们那时候整天看的都是打仗的电影，崇拜的都是像邱少云这样的英雄，越是有困难，越是能激发出一种不服输的劲头。可是现在的大环境不同了，同一种方法并不适用于所有的孩子，更不用说，是在不同的时代背景下不同的孩子。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:29 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-6 19:49 发表
为啥惭愧，是因为。。。实在难为情，哎呀，007 、ccpaging，你俩知道啥子叫个“互质因子”不？这玩艺儿我好像没学过 所以出丑了。
为啥要你俩家的小儿去尝试奥一奥，因为我接下来放下身架拉下面子问小五 ...

Jupiter可能是学文科的吧？元旦的时候，我一北大同学（中学同学）来我这玩，他是中文系本科、哲学系研究生。他以一个文科生的思维给我几个意见：

1、关于“知识”
“知识”简单地说分为知和识吧。知就是说我知道，识就是说我认识，这里我们把“知识”暂时理解成对已知事物的学习（实际上知识的范畴可能更加广泛，但我们要谈的不是这个）。我们从小学中学到大学，应该说都是在学习“知识”，对我们的评价也主要集中在拥有知识的“多少”，而且我们即使离开了学校都还在学习“知识”，所谓“活到老，学到老”嘛。

可是，我同学从另一个角度对“活到老，学到老”进行了阐述，他的理解当然包括前面这一种普遍的认识，但是这句话还有另一层意思，那就是：
“既然我们要学到老，那么什么时候学都不晚，都是可以的，知识还在不断地更新，我们能学到的知识永远都是过时的。”
这一层意思显然在一定程度上否定了我们在学校这么加倍努力学习的意义。那么我们学习知识的意义何在呢？

2、思想传递了，文字多余了
以文科的眼光来看，“互质因子”不过是语言中的一个词，语言的目的是什么？交流思想吧，传递信息吧，所以Jupiter大可不必为不知道一个专有名词而烦恼，因为Jupiter你已经理解了“互质因子”的意思，而且能正确应用，这样的话，思想已经被交流了，信息传递已经完成了，语言的存在也就显得多余了。如果Jupiter要当个数学老师显然是需要恶补了，但是如果是作为为一个学生，或者是一个爱好者，换句话说，只需要知其然，而不是去言之凿凿，足够有余了。

3、文科生眼中的鸡兔同笼
我的文科同学阅读这个帖子的时候对美版鸡兔同笼和孔版鸡兔同笼发生了强烈的兴趣，看完后说了很多，不才我来做一个节简：
看了孔版鸡兔同笼，我同学心生羡慕，很敬佩孔老师，想成为像孔老师那样聪明智慧的人。
看了美版，使同学想到了小时候，开始看到题目的时候傻眼了，这道题没见过哦？其后，也是这样一步步推演出答案，感觉自己非常强大。当时同学兴冲冲地把解法交给老师看，满心希望能得到一个赞扬，结果老师二话不说，几个及其漂亮的标准答案写在了黑板上。从此，我同学就改学文科了。
同学到了大学，研究了中文，再研究哲学，返回头来看看自己小时候的这件事，才发现其实自己是有数学天赋的，因为自己学习到的不仅仅是知识，而是思考的方法，而思考的方法比知识本身更具创造力，更具有普遍意义。

时隔二十年，中学学的东西早已忘记了，小学就更不用说了，但是我们经过二十年的锤炼早已进入了完全不同的境界，这些小学的数学技巧再漂亮也只是一个招式，仅仅是个招式而已。
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【转帖】 被国人误解了千年的七句话
http://ww123.net/baby/viewthread.php?tid=4515131
5、吾生也有涯，而知也无涯。

原句：吾生也有涯，而知也无涯，以有涯随无涯，殆已——《庄子·养生主》
这句话是庄子说的，八卦一下，庄子此人，实在是如月影非常喜欢的一个人物，他的思想和性情，都非常十分很特别对我胃口，什么大家不爱听这些？那算了，本来想抖点猛料让大家深入了解一下我这个好同志的……好了好了别扔鸡蛋，我说正事还不行吗？好，先来看看，“吾生也有涯，而知也无涯”，这句话我们在什么地方见得最多呢？第一，是图书馆，第二，是全国各个小学的后墙上，按照现在人们的普遍理解，这句话实在是学习励志类的不二明言警句，生也有涯，知也无涯，多崇高的目标啊，这比什么孔老夫子的“学而时习之不亦乐乎”都来得有气势多了，古往今来，不知道多少学子在这句话的激励下凿壁偷光闻鸡起舞奋发图强追求上进读那些永远也读不完的书，动力啊，偶像啊，庄子七老八十还能说出这么振奋人心的话，咱年轻的小辈正当青春，怎么能输给他老人家？不狠狠地读书怎么对得起他老人家？

但真相说出来，往往会让人哭笑不得，庄子的这句话其实是这样说的，“吾生也有涯，而知也无涯，以有涯随无涯，殆已。”我庄子的生命是有限的，但我面对的知识是无限的，要我以本来有限的生命，去追求那种永远看不到边的尽头，你当我是SB吗？这样会搞死自己的捏~~庄子是一个追崇顺其自然，清净无为的洒脱人物，他认为人吃个饭，饱了就行，没什么必要追求奢华，穿个衣，别冻着就行，实在不需与什么人攀比。同样，学问也是如此，学够了就行，学以致用，学问学来就是为了用，你一个人再牛B，还能全部用到这世间所有的学问？既然不能用到，那你老学老学把自己整个生命都拿来学这是干啥呢？时间都被你拿来学习了，还怎么有时间把学到的东西拿来用呢？这不就跟吃饭是为了炫耀穿衣是为了攀比的人一样，完全本末倒置了吗？所以他老人家就在《养生主》一书中给后世陷入这个怪圈的书呆子们提了个醒，你们这样苦学盲学乱学通学，对身体不好滴，会搞死自己滴~~

当然，庄子的这句被人误解的话，其实并没有以上那些例子引起的反面作用那么大，读书是必须的，掌握一定的知识也是必须的，但咱们要记得自己把握好，有个度。你就算用半辈子武装得自己学富五车，却发现很多知识你根本用不上，这不浪费了么？庄子从来都不认为一个人能比自然更大，这是他所有的话中唯一的主题思想，实际上，就算我们拿现在的世界观来衡量一部《庄子》，仍能发现他的学说里，有许多是符合辨证唯物主义思想的。可叹的是，就是这么一位崇尚自然的思想家，他一句劝解读书人适可而止循序渐进的话却被一些叫嚷着“人定胜天”的人当成了激励年轻人拼命读书的名言来供着，科举改成了高考，八股改成了应试教育，于是大学生一年比一年多，可素质却一年比一年低下，最后整黄了吧？你看现在大学文凭都和废纸没什么两样了，这帮人还不醒悟，还是继续读，读完大学读硕士，读完硕士读博士，读完博士读博士后……读完出来一看，嘿，好象我已经老了捏，很多知识也用不着捏，这不自己跟自己过不去么？
最后再说一句私人的牢骚话，最近我去图书馆，总看见一帮老头老太太天天在那侯着，一见有啥免费的学习班就往里钻，也根本不管别人老师是教着什么，各位老爷爷老奶奶们，听我这个后辈说句话，您们这不瞎捣蛋么？赶时髦啊？摆个性哪？想让我们称赞下您啊？还是真打算活到老学到老啊？自个儿细细思量一下有什么意义么？能不能腾些地方给些真正需要的人进去？M的连“量子力学基础浅谈”都有街道的老大妈在里边占着位置，我真是无语了……

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-7 22:32 编辑 ].

引用:

原帖由 咖啡豆 于 2009-1-6 21:47 发表
大侠们，又来请教了。这次两题。
1、时钟5点敲5下，8秒敲完，敲12下需要多少秒？
小二没有学小数没有学分数，我不会算了。
2、三人轮流抬桌子，两人抬着走，平均每人都抬了30米，这段路有多长？
我的算法是30×3 ...

1、敲个铃铛试试。
叮、、、叮、、、叮、、、叮、、、叮
下一声就是“波”，敲小脑袋上了。
007痛恨的“夹毛巾”的变种。

2、抬个桌子试试。开个玩笑，别真抬，画画也行的。
“烤饼”的变种。
======================================
刚才儿子被一道组字母的英语题难住了。
h o t r s
r o y r s
我也不知道该怎么做，待Alex做完别的英语题，让儿子把字母写在小纸片上，剪下来。
Alex楞了一会，曰：“从哪里开始啊？”
我说：“闭上眼，随便摸一个字母”
、、、
不到2分钟，结果出来了，short, sorry.
======================================
最近经常能听到Alex来问：“爸爸，我从哪里开始啊？”
以后我准备把我的回答写在一个牌子上：“闭上眼，随便走一步，看看，再说。”

try.gif (16.99 KB)

2009-1-6 23:53

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:31 编辑 ].

数学教改貌似就是这样，不断的把高年级的课程下移，估计教材的意思是希望学生能在低年级尽量多的接触到数学的方方面面，不需要很深，使学生的知识结构呈现金字塔形。

可是，考试和考核把这层意思完全弄拧了，现状是教授的面很广，还特别深入，小学老师和学生的压力都特别大。

真要想把这一点做好，老师的数学能力要更专业，更广泛，无疑数学系毕业生+师范进修是获得这类老师最好途径。可是数学系的分配去向现在不要太好哦，银行、金融、出国留学，都是令人羡慕的金饭碗，老师的待遇虽然也算好，还是相形见绌。

扯远了，反正将来再好咱们现在也享受不到，绕回来还是那句话，BBMM们只好“赤膊上阵”了。数学题也就那么回事，欺负孩子不干家务，不就是“抬桌子”、“烤饼”、“晾毛巾”，最多再加上几个老数学家的八卦，这个咱BBMM们都拿手啊。只要不把我们砸晕了，我们都能干好的。

下次妈妈们见面这么说：“嗨，侬晓得哇，那个英国的科学家牛顿，老来事的，赚了交管钞票。一踏利那个伽利略真额一踏糊涂，唉，可惜了，年纪过得来一塌糊涂，就是那个在斜塔上扔铁球的那个。”
开个玩笑，别当真哦。

其实数学也就那么回事，大家玩玩嘛。下次张老先生也许会做这样一篇文章：写给小学家长们的信。

正经说一句，张老先生的话很有道理，也坚定了我教一DD初等代数给Alex的信心。当然，小心再小心，又要被 J 师姐笑话了(高一级也是高，唉)。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2010-3-11 22:20 编辑 ].

小二一直做这样一道题：
☆○○◇□☆○○◇□☆○○◇□☆○○◇□...

问第28个是什么符号？到第28个时，○出现了几次。
Alex历经了排列、数数、加法、乘法、除法等各种算法，终于掌握了带余除法。
28 / 5 = 5 ... 3
余3，所以第28个是○；商为5，所以○出现了 5 * 2 + 2 = 12次。

模拟考试的Alex成功列出了算式，可是却忘了后面是怎么计算的，结果做错了。
考后分析的时候，我让Alex列出算式，同时告诉他几句话：
1、记忆不可靠，我们要学很多数学题，没有人能把所有的题型都背下来。
2、老师是自由的，他会出各种各样的题，挖各种各样的陷阱。
3、如果抛开记忆的话，这道题列出的算式，仅仅是个猜测，而猜测更加不可靠的，除非你证明了它。

Alex恍然大悟道：
“我的同桌用的就是最笨的排列法，他做对了。我用了聪明的方法，做错了。我列出算式以后，也应该排列验证一下。”

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-7 23:34 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 01:18 发表
我，我，我明天早晨起不来耽误了语文考试，你可得负责任，你这个亲娘数学可是把我搞得晕头转向了。
那个小五生的确已经是方程爱好者了，压根没想到什么互质因子，是我自己在百折不挠地探索，经他外公解答后他才明白 ...

十一、足下高徒
      必达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊的数学家、天文学家、哲学家。
      有一次必达哥拉斯去参加朋友的宴会，当主人向客人介绍必达哥拉斯是当地的知名学者时。在场的达官显贵们很不以为然。在场的达官显贵们轻视地看着这位穿着简朴、貌不出众的老者，有不少人还带着讽刺之意在窃窃私语。在人群中有以为穿着锦稠衣裤的富家子弟用挑衅的口吻喊到：“必先生是本地的著名学者，那么请问足下有多少高徒？”

      必达拉斯则慢条斯理道：“我的学生1/2在学数学，1/4学音乐，1/7学哲学。此外还有3名女生。”当时这位富家子弟说不出话，只是尴尬地在傻笑，他不知道必达哥拉斯到底有多少名学生。那么，他究竟有多少名学生？

这一题更容易解释一些。
1、我们先把问题里边的须须头放在一边听用－－3名女生，暂时当他们出去玩了。
2、人数肯定都是整数，那么结果必然跟能被2、4、7除尽的整数有关，也就是公倍数，简单一些，先搞个最小公倍数试试。
3、咱们用28来试试，那就是
28 / 2 + 28 / 4 + 28 /7 + 3 = 14 + 7 + 4 + 3 = 25 + 3 = 28
4、（证毕），大部分人可能都会在这写上证毕。不过要是数学系的也在这里写上证毕，是要被打屁股的。因为我们还要证明这个结果是不是唯一的，不过目前我还没想出应该如何证明。

个人认为，以上的解法不够可靠，而且很强烈地依赖整数的概念，换句话说，有局限性。从这一点考虑，就这道题而言，我跟 J 姐的意见一致，代数更简单。

所谓“互质因子”只是跟最小公倍数有关，老实说，我也忘了有这个定义（让007失望了，不过由此可证，记忆和知识都不可靠）。我想的就是公倍数，而最小公倍数肯定和质数、因子有关，所以这个“互质因子”概念也就差不多了。当然仅仅是差不多而已，估计数论里边有更多的研究。讲到数论，我这可以找到一个藉口，因为我的专业是“应用数学”，^_^，不知道能不能算个藉口？现在发现“应用”有个好处，那就是我跟BBMM们的距离很近，我是个大俗人，窃喜。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:34 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 01:26 发表
我家小五也应该惭愧，或者我替他惭愧，这样看下来，他实在算不上聪明，算不上奥数高手。
007，你知道吧，这次中环和小机灵，有好多满分呢，除却有腐败嫌疑的，至少也有一些真材实料。
我现在不得不钦佩他们了，咱可 ...

你们家小五不能惭愧。数学老师的评价有很多是超越“聪明”的，例如考虑问题全面、推理严谨、逻辑能力强、发散思维能力强等等，而“聪明”通常是略带贬义的。
所以，我们不要“聪明”，我们要“智慧”, To BE SMART。
古人说：“大乐必简”。搞哲学的人说，他们的任务是寻找“致命清晰的简单真理”。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:34 编辑 ].

引用:

原帖由 sask 于 2009-1-7 16:15 发表

儿子三年级，在学校里只学了加，减，和估计（estimate)。
通过日常生活，有乘和除的概念，不过不乐意背乘法表，所以没有正式操练过。分数最熟悉的是1/2，1/4，和0.5。

他被我养成了一匹野马，平时我抛出从这里 ...

Estimate，估算灰常重要，目前小学低年级的估算教的不好，学生能用估算的不多，值得鼓励。估是动态的，估的过程可以是发现规律的过程，估得越多，估得越准。
不过，就这道题目而言，鼓励儿子Do it and try first.

TRY，"踹"

try.gif (16.99 KB)

2009-1-7 16:18

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:35 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 16:30 发表
总结了一下，你的亲子数学或叫亲爹数学，其实更适合玩那种扫盲奥数题，那才是玩。学校的数学是严谨的，难度大了就不好玩了。
不要对没有接触的事物持否定，不要对没有发生的困难感到畏惧。
以上观点仅作参考。

同意。好像原来没什么奥数班，小学就更加没有。现在正规教育下移，好多教学都要重新来过，毕竟小学和中学的孩子差别还是很大。
奥数当然也可以下移，但是照搬原来中学的学习方法，基本上行不通，可能还有害。.

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 20:21 发表
刚才外公专门打电话来，强调昨天那个互质因子的做法有局限性，普遍的做法还是应该解方程！（昨晚的电话是小五先拨号的，已经告诉了外公互质因子的方法，所以我听到的就是互质因子方案的解释）
我又太自以为是 ...

跟电话那头的数学系老师兄，碰上一杯，为了“数学”和“应用”，浮一大白。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-7 21:36 编辑 ].

引用:

原帖由 若仪妈妈 于 2009-1-7 21:47 发表
额的神啊,这些都是小二的题目吗?

且慢撞墙，有小二的，也有小四、小五的，还有BT的BB们赌气，改到初中鸟。请明鉴。

另，一家三口正好玩抬桌子（拿儿子的泡沫块）和烤饼（我跟儿子的手掌被MM“烤”了）的游戏，您也抽空试试。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-7 22:49 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-7 22:00 发表

　　大姐啊，因为你上传的外公教授的话，我这一天发生了严重的心理危机。
　　我几乎不敢相信，数学教授会说出算术比代数聪明之类的话。他要是真这样想的话，我就要对中国的数学和数学教育绝望了！
　　你的这个 ...

007还是错了。J 姐的儿子的外公是数学系毕业，J 姐的儿子的爷爷是数学教授。八卦了，唉。

另，回 sask 妈妈的话：
估算特别重要，生活中无时不刻在“估算”。出门带多少钱？超市里边看看哪个更便宜？工程科学里边基本都有估算，小商小贩也是估算行家里手。甚至搞对象见面，也是“估算”的过程，由模糊到清晰，由外及里。
您理解的没错，估算还可以升华成探索未知的方法之一，"先猜，先估，再校正，再算，再证"，比两手一摊毫无头绪要强的多。
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【转贴】再谈“毛估估”（小学都适用）－听吴正宪老师《估算》一课有感
贴一篇文章，希望有帮助http://blog.163.com/lypddzy@126/ ... 870220084191313228/



听吴正宪老师《估算》一课有感
     
    表现之一：当吴老师让孩子们对自己的估算方法进行命名时，孩子们的“大估”、“小估”、“大小估”、“四舍五入”、“凑调估”等等都成了估算的名称，并写在了黑板上。孩子们很奇怪，自己随口取得名称居然被这位北京来的老师肯定了。
    表现之二：就在许多孩子纷纷进行估算时，有一位孩子就是在那儿苦苦精算，浪费了宝贵的教学资源。请看吴老师是怎么处理的，她先征求这位孩子的意见，问他愿不愿意放弃，见孩子不肯时，就让这位同学继续演算，一边提出了让其余孩子思考的问题。知道这个孩子说我愿意放弃，因为太麻烦了。
   表现之三：当孩子纷纷把自己的答案写在黑板上时，出现了两个一样的结果。为了让孩子更清楚地学习各种估算方法，也为了节约地方，完善板书，需要擦去重复的答案之一。我想，要是换成我，一定是告诉孩子这个答案重复了，所以擦去。而吴老师却是先找到板书的孩子，认真地说：“孩子，让我们商量一下，这个答案已经有了，我们暂时擦掉，可以吗？”当吴老师得到孩子的许可后，先郑重地说了声“谢谢”，才将重复答案擦去。
   表现之四：最后，在进行课堂小结时，有孩子又一次提起了“估算是谁发明的”这一问题，我知道，在座的没有一个人知道，包括吴老师。但是，吴老师并没有回避这一令她尴尬的问题，而是灵机一动，成就了不曾预约的精彩。“是你们。”吴老师大声地对孩子们说，“老师也不知道，估算到底是谁发明的。但是，因为实际的需要，在某年某月某日，它悄悄地来到了我们中间。”
    吴老师的一言一行，都给我留下了很深的影响，下面就这一课，我把自己所学到的与各位老师共享；
师：你们二年级经历过估算吗?
师：这节课，咱们一起学习估算知识。（板书：估算）
师：在学习估算时，你有什么问题要问？
生1：怎么去估算？
生2：估算注意些什么？
生3：估算有什么好的方法？
生4：估算有什么用？
生5：估算用在哪里？
师：你们遇到过什么地方用估算，什么地方精确计算？
课件：在实际教学中，我们常常是为了估算而估算，在生活中很少甚至根本不用。最主要的原因是学生没有体验到估算的必要性，不能自主选择何时估算，何时精确计算。而吴老师设计的“青青购物“情境，让学生在非常自然的情况下，感受估算与精确计算的价值，体验“具体问题具体分析”的深刻道理。感受估算与精确计算的区别播放录像：大家好!我是青青，我要和妈妈去超市了。欢迎大家和我们一起去。我们要买5种物品：纯牛奶48元，饼干18元，茶杯31元，汇源果汁23元，巧克力69元。师：青青提了个问题：带200元钱够不够? (学生思考，不一会儿举起了手) 师：别急，我们再来看看。
下列哪种情况使用估算比精确计算有意义?
A．当青青想确认200元钱是否够用时
B．当收银员将每种物品的价钱输入收银机时
c．当青青被告之应付多少钱时,精确计算的思维定势。
然后吴老师又出示了一道题：
下列哪种情况使用估算比精确计算有意义?
通过这个题目，学生自觉地意识到，在计算过程中，除了精确计算还有估算，碰到对计算要求不高的情况，可以灵活地运用估算去解决日常生活中一些简单的问题，逐渐感悟到估算的实用性和广泛性。吴老师还引导学生对具体的问题情境进行对比，选择估算或精确计算，不断地积累经验，使学生渐渐形成估算的意识一、感受估算与精确计算的区别
生：选Ａ。
课件：曹冲称象：六次称石头的质量如下：（单位：千克）
次数1     2     3   4    5    6
质量328  346  307  377  398  352
师：你能估计出这头大象多重吗？
一生到黑板上板演，其他生在本子上算
汇报并板书：
生1：300×6=1800　　　　　　　　　　小估
生2：400×6=2400　　　　　　　　　　大估
生3： 350×6=2100　　　　　　　　　 中估
生4 ：300×7=2100　　　　　　　　　 大小估
生5： 300×6＋300=2100　　　　　　　 凑、调估
生6 ：330＋350＋300＋380＋400＋350=2130　 四舍五入估
问：生1你是怎么想的？
生1：这六个数都是三百多，就都看成整三百乘六。
师：你都是往小里估的，你把这种方法起个名字吧！
生：小估。
生哈哈乐。
师：小估就小估吧，小估你请坐。同时在算式的后面板书：小估。
问：生2你是怎么想的？
生2：我都看成了四百。
师：你是往大里估的，对不对，你也给这种方法起个名字吧！
生2：大估。
师：大估你请坐，同时在算式的后面板书：大估。
问：生3你是怎么想的？
生3：都是三百多，就都看成了三百五十。
师：你也给这种方法起个名字！
生3：中估。
师：中估你请坐。同时板书：中估。
    估算在日常生活中有着广泛的应用，是人们在现实中运用相当广泛的数学运算方式和行为，相对机械的、繁杂的运算，更具有数学价值。因此，《数学课程标准》明确提出“重视口算，加强估算。”然而一线的有些老师却“害怕”估算教学。尤其在低年级教学中，经常遇到一些家长和学生问：“老师，学估算有什么用，只是您让我们估，我们就估。”“那么多的估算的方法，到底哪个对呢，”说实话，这也是我的迷惑，因此我特意坐到会场的前面，仔细聆听吴老师整节课的教学，听后受益匪浅。
     一、冲破“四舍五入”估算的束缚，追求估算方法的多样化。
在吴老师的教学中，基到学生对“数”的感觉以及运算的理解，吴老师在课堂中与学生共同探讨得出多种不同的估算方法：小估、大估、大小估、中估、四舍五入估、凑调估，教师轻松、幽默、自然的语言，使学生冲破“四舍五入”估算的束缚，使学生对估算的多种方法有了深刻的理解，体验了估算方法的多样法。
     二、拓展估算教学内涵，注重培养学生数感。
所谓数感，就是人对数值的实际内容，数量关系和空间形式的一种直接感。注重数感的培养是针对传统教学中过分强调单一知识与技能训练，目的就在于使学生学会用数学的方法解释问题，在吴老师对培养学生的数感的重视也体现得淋漓尽致。（如吴老师在进行四下五上估时指着330＋350＋300＋380＋400＋350＝2100时，问：“你是怎样想的？”生：“我是近估。把这些数全都看成离他们最近的一个整十数，然后再加起来。”师：可我有个问题要问这位同学，你为什么把328看做330，而不看做320，把352看做350而不看成360，在这样吴老师反复追问下其实也渗透了老师对无时无刻的对学生进行数感的培养。）
综观整节课，吴老师尊重学生，尊重学生的个人感受和独特见解，敏锐地捕捉学生课堂情境中的每一次灵感的闪现，我深入其中，品味着它的点点滴滴。
……
师：到底怎么估？你们在计算的时候，电脑作出了精确值。出示
课件：2108和21080
问：你同意哪个？为什么？
生：2108千克，即使大估，最高位才是四位数，也不可能是五位数。
师：此时此刻，根据你的估算，你不想说点什么吗？
在这时吴老师进行了二次反思，这是吴老师教学估算的一个重要特点。
问：大估想说什么？
生：太大了。
问：小估想说什么？
生：太小了。
问：哪种方法最接近准确值？
生：觉得中估和凑调估最接近。
师：看来我们对于选的方法，即要欣赏自己，又反思自己。
电脑：租车问题：350名同学要外出参观，有7辆车，每辆车56个座位，估一估够不够坐？
生1：7×56≈350（个）350＝350　够
        50
生2：7×56≈420（个）420＞350 够
        60
问：大估好，还是小估好？
小结：往小里估好，可以预防万一，保证保险。
电脑：有一桥限重3吨，一辆车装着6箱货物，每箱255千克，车重956千克，这辆车能安全通过吗？
生1：大估，285×6＋986≈2800（千克）
          300     1000
生2：小估，285×6＋986≈2680（千克）
          280     1000
师：到底大估好还是小估好呢，为什么？
生：大估。
师：到底怎么估？
生：看情况来定大估还是小估。
小结：具体问题具体分析，具体面对。到底学习估算有什么用？
师：这节课你们有什么收获？
生1：有时大估比小估好，有时小估比大估好。
生2：估算比较保险，预防万一。
生3： 具体情况，具体分析。　
生4 ：有的地方不必用精确计算，用估算比较方便。
生5：估算，也有一定的范围。
生6：估算在我们生活中原来有这么大的用处呀！
    精彩的40分钟换来了掌声一片，在接下来的1个半小时里，吴老师又结合自己的课堂教学，从老师在估算教学中的困惑谈起，聆听了专家的讲座，一下子豁然开朗了许多。原来估算评价有它“特有”的标准。现我把专家的观点做些整理，与大家一起交流、一起分享！
（一）注重学生估算意识的培养。
1.教师要注重估算，并把估算意识的培养作为重要的教学目标；
2.要选好题目，提出好问题，让学生去体会估算的必要性；
3.要鼓励学生利用估算来验证计算结果，养成好习惯；
4.要引导学生在问题情景的对比中，选择估算或精确计算，不断地积累经验。
（二）让学生在感受估算的价值中学会估算的策略和方法。
1.鼓励学生解释估算的理由和思路；
2.教师要积极地引导学生进行二次反思与调整（吴老师的课很好地体现了这一点）；
3.教师要帮助学生在实践中不断总结估算的策略，不断提高估算的能力。
（三）对学生的估算作适度的评价。
1.根据实际问题，选择合理的估算策略，结果合理方为正确；
2.脱离实际问题情境，纯试题的估算，只要结果落在区间内，方为正确。但要根据不同年龄的学生的认知实际，给予针对性的评价；例：如76×5≈？它最小可以看作 70 ×5=350 ，最大可以看作100×5=500；它的区间在于350~500之间。学生估算结果只要在这个区间内都为正确。
另外，在对实际问题估算或估测过程中，由于每个学生都有自己的想法，面对同一问题所采取的策略不仅相同，因而估算结果往往不是唯一的，只要他选择了合理的估算策略，结果合理方为正确。如
曹冲称象：六次称石头的质量如下：（单位：千克）
     次数1     2     3   4    5    6
     质量328  346  307  377  398  352
你能估计出这头大象有多重吗？下列估算结果都是合理的。 1、往小估：300×6=1800（千克）  3、两头估：300×3+400×3=2100（千克）
2、往大估：400×6=2400（千克）  4、中间估：350×6=2100（千克）
……
但不管是针对上述哪种情况，都要注重随着学生年龄的增大，经验的不断积累，慢慢要让他学会比较分析，哪种估算策略最接近精确结果，让学生逐渐学会合理、灵活的估算。
3.估算结果落在合适的数量级中，方为正确。例如：
2108和21080
（四）、由评价标准引发的思考：
1、估算习题的选择要有估算的必要性。
2、估算教学重在培养学生的估算意识，要把估算教学渗透早平时的教学中，让学生不断累积估算的经验，体会估算的价值。利用估算来初步验证计算结果的合理性是一条有效的途径。
3、在平时的教学中要引导学生对估算结果与精确结果的比较，让学生学会调整自己的方案，自觉接纳别人的方案，不断累积经验，实现最优化策略。
    我的体会：吴老师上课风范如行云流水，给我留下了深深的印象；对估算教学内容的把握，也给了我很好的启示。教师听吴老师的课，感觉就是一种享受，学生上吴老师的课，简直就是一种快乐。“有智慧的老师，才有生命的课堂”，这堂课真正让我亲眼看到了。吴正宪老师“估算”课堂教学实录，有以下的启发：
1、找准学生的最近发展区。
2、根据学生的实际情况，可以适当对课本内容做一些调整。
3、可以找一些学生熟悉的情景让学生有目的性的估算。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:36 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 22:56 发表
哈哈，你一说我想起来了，搞装修的包工头最喜欢说：“毛估估”

我一进超市脑子就转得飞快，对那些搞促销的捆绑商品进行单位价格核算，特别是卷筒纸，常用的品牌，除了价钱，还要计算每卷的克数，要计算出每克的价 ...

我装修的时候被包工头揩了油，算瓷砖的时候，注意扣窗户和门，却忽略了扣浴缸，郁闷啊。好在那时孩儿他妈对我还有些崇拜，没看出来，否则，郁闷死哦。

是呀，侬要估了少，伊要估了多，大家一拼，"派∏"就出来了。
八卦一下，刘徽和祖冲之说不定也吃过包工头(也许是商人)的亏。事例为证：
三国时伟大的数学家刘徽的《九章算术注》创造了求多面体体积的关键性理论——刘徽原理，用无穷小分割和极限思想证明了圆面积公式，并创造了求圆周率近似值的科学程序，计算了正192边形的面积，求出圆周率的近似值为3.14，用分数表示为157/50和3927/1250。－－》笨爸爸同学注：锱铢必较啊

刘徽“割圆术”示意图.jpg (7.84 KB)

2009-1-8 10:12

南北朝的时候，祖冲之为了计算圆周率，他在自己书房的地面画了一个直径1丈的大圆，从这个圆的内接正六边形一直作到12288边形，然后一个一个算出这些多边形的周长。那时候的数学计算，不是用现在的阿拉伯数字，而是用竹片作的筹码计算。他夜以继日、成年累月，终于算出了圆的内接正24576边形的周长等于3丈1尺4寸1分5厘9毫2丝6忽，还有余。因而得出圆周率π的值就在3.1415926与3.1415927之间，准确到小数点后7位，创造了当时世界上的最高水平。－－》笨爸爸同学注：怀疑是直径1丈的地毯。
在圆周率近似值的计算方面，古希腊一直是走在中国前面的。公元前5世纪，当希腊数学家算得圆周率为3.1416时，中国还停留在“周三径一”的古率阶段，并一直沿用到汉代。西汉刘歆算得3.141547或3.14166，有效数字为3.1，东汉张衡得到92/29和10的平方根这两个表达方式。刘徽算出圆周率为3.14，但是祖冲之不满足于刘徽这个成果，他通过刘徽的割圆术，从正六边形出发，直到计算出正6乘2的12次方边形的面积。他用更开密法，进一步算出了圆周率大于3.1415926小于3.1415927的结果。得到这样的结果，要对这样一个九位数字进行不下130次的包括开方在内的运算，这需要何等的毅力、决心和精力！这在当时是一项了不起的成就，他不但把刘徽的数值精度提高了上百倍，而且运用了“盈二限”的方法给出了一个无理数值的变化范围，是一个无理数表示的基本方法，这种方法，除了希腊大数学家阿基米德之外，运用得最好的就是祖冲之了。祖冲之得出了两个表达圆周率的分数，一个是22/7，一个是355/113，前者称为约率，后者称为密率。密率是一个很好的近似值，有人做过计算，如果用它来计算半径为10公里的圆面积，误差不会超过几毫米。祖冲之对圆周率的求索，超过了世界水平整整1000年！直到16世纪德国人V·奥托和荷兰人A·安托尼斯才发现了圆周率的密率355/113，并被称为“安托尼斯率”。1913年日本数学史家三上一夫建议将祖冲之圆周率的密率数值命名为“祖率”，得到一致赞同。－－》笨爸爸同学注：执着啊，地毯说的明证。

笨爸爸的新发现：女人是祖冲之的门徒。

潇洒的儒雅老宅男－－祖冲之

2.jpg (27.71 KB)

2009-1-8 11:36

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:37 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-7 23:23 发表
刚才给儿子检查最后一张练习卷，有这样一道填空题：一个直角三角形，三条边分别是7厘米，10厘米，6厘米，它的面积是多少。。。21平方厘米。
这没有啥稀奇的，但是我这个多事的老娘又想加菜，炫耀自己本领，告诉儿子 ...

哈哈哈哈，BS这个老师。如果能跟儿子一起证明这道题是错误的，那对孩子来说实在是妙不可言。
前面我跟儿子证明了老师出的幻方错误了，儿子非常得意：同学们都发现了这个错误，而只有他一人证明了错误。

可以从下面几个方面考虑：
1、直角三角形的面积是长方形的一半。
2、这个长方形如果保持低边和高的长度不变，拉伸以后的平行四边形面积也不变。
3、与正确的勾三股四弦五进行比较，也许能证明这道题是错误的。（貌似是几何意义上的，不能确定）

建议找高手出马，先设计好。着魔了，搞到半夜1点，躺床上翻来覆去想，总也不能绕过勾股定理。后来也想通了，何必这么累，绕不过，就证明呗。
我们都学过勾股定理，还真没证明过。中学学的时候，老师可能觉得同学们理解不了，没教。到了大学，老师是正经八百的孔子门徒，“不叩不响”。
喜欢婆什迦罗的证明。
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【转贴】勾股定理的证明
                                       
    勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。它有四百多种证明！卢米斯（Loomis）在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。

勾股的发现
　　关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，有兴趣的读者不妨查阅一下。
    中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。

xft.jpg (20.59 KB)

2009-1-8 09:47

于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)                                
    赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。
    印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图中给出的两个相似三角形，我们有

ydz.jpg (18.25 KB)

2009-1-8 09:47

c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2               
勾股的证明

    中国的数学家刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。刘徽对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。

勾股趣事
　　汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？　
    中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

附件为勾股定理的16种证明方法

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:38 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-8 09:57 发表
ccpaging，你这个自大狂，我给你一百万，你给我吧一个长方形保持高不变拉成个平行四边形！

我说错了，咱们Misunderstand，文字有时真的还是不如图形。

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2009-1-8 10:05

后注：本想狡辩“拉”，但是后面BB（870#）的意见显然有更丰富的维生素。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:39 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-8 10:00 发表

　　儒子，可教也！我家小子在同类问题上要犯上多次错误，吃够了苦头，才会有所改正。

Alex也是犯过多次错误，也吃了很多苦头。我相信，这个苦头要吃一辈子，所以坦然接受。

俗话说：“尽信书不如不读书”，这也是一个怪圈，我们穷尽一辈子的时间，不就是在试图掌握其中的奥妙。人类的发展也就是在这种不断肯定，不断否定之中向前发展的。.

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-8 10:55 发表

是滴是滴，可是，好像那个直角不能用平面几何的90度来定义了，这是不是立体几何或者高等数学的东东了？而勾股弦定理是平面几何的定理？
嗯，晕了，冒着挨打的危险，问我爸去
算了，ccpaging是数学系的，先问 ...

有酒喝了，为了“非欧几何”。
传说中，欧几里德几何有四大公理，公理看起来好像很“公平”、很“有道理”，显而易见嘛！地球人都知道。其实，这个公理是最不公平，最没道理的，是数学家共同保守的秘密，公理更像是"Blieve or not"。公理之间只能互证，而不能被证明，欧几里德几何的大厦就是这四块砖头垫起来的，而这四块砖头真的只能是“牛不喝水强按头”了。

但是偏有人不信这个邪（人不能轴，轴起来真是可怕），把四大公理反着改，于是就诞生了“非欧几何”。“非欧几何”在解决曲面问题上具有特别的优势，在现代数学和物理，甚至哲学上都具有非常重要的意义。

可参考下文（过于枯燥不转了，没有火车的西瓜有味道，人有时候还是不能不轴的。）：
http://www.mathedu.cn/Article/Term/200512/20051205231353.shtml

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-26 12:40 编辑 ].

引用:

原帖由 sask 于 2009-1-7 16:15 发表

...临睡前，儿子慎重的提醒妈妈：“你不知道答案的题目，就不可以问人家。要不然学生交上答案，老师不知道对不对，这怎么行！”...

“踹”也需要经常练习，才能“踹”得有技术含量。面对这类问题，我原来一直都是回避的，因为书上实在是找不到现成的答案，总是感觉很虚弱。在跟儿子一起学习的过程中，突然发现原来数学这么严谨的东西居然也是可以“踹”的，我们所敬仰的那些大侠原来也是“踹”出来的、

下图是用牙签（有点危险，最好折去尖头，用火柴棍也行）搭出来的一个锅铲，铲子上有一块肉，我们试试能不能只移动2根牙签，把肉倒出来。
如果是唯美的女儿同学，可以解释成垃圾和“簸箕”。

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2009-1-8 12:33

         

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2009-2-1 16:37

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-2-1 16:37 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-8 12:47 发表
　　在平面上不可以，在空间中完全可以。只是这个满足条件的直角三角形，撤除了它的空间条件，独立出来之后，有点怪怪的。用平面几何的视角，它哪里是个三角形呀？
　　用类似的方法，可以倒出ccpaging放在铲 ...

不是啦，吃肉没那么复杂的，“踹”就好啦。这是我同学出的题目，我跟Alex一起“踹”的。

Alex也是做不出，不知道从何下手，那么随便移动一根先，然后试试别的可能性。“踹”多了以后，有点糊涂了，于是建议Alex给“踹”过的做上标记，于是又重新前进了。

除了搞数学的比较BT，搞哲学的也很BT的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-8 13:48 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-8 17:39 发表
那个臭小子上午十点回家之后，一屁股坐到他爹的笔记本前开始宠物小精灵的过关探究，一直到两点多才在河东狮吼的震慑下关机隐遁，再见他时已经四点差一刻，居然躲在被子里睡觉，四点一刻训练，路上要花二十分钟的，一 ...

电脑游戏太厉害，搪不捞，不如有引导他学习计算机。游戏里边也有不错的，我原来玩过《福尔摩斯探案》，感觉还行。
Alex一年级暑假的时候隔三岔五地打半小时 Typewriter， 玩玩简单的计算游戏、字母射击游戏，不时的在计算机上看几部电影，有时也找我帮着搜索点小资料。

那坛子被捂捞了，总想打开看看。索性打开它，大家都释然了。小心网游，那个太厉害了，害人。

讲到带皮蹄膀，只想大喊一声：“冲之，上算筹、、、”

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-8 19:21 编辑 ].

从52张扑克（不要大小王）中任意抽出一张，用最快的速度数3次剩下的扑克牌，算出抽出的是哪一张。
不是魔术，是计算哦。有人可以只算2次。

平时玩这个游戏可以锻炼注意力，手眼脑（统感）的协调。脑子反应快的同学，容易“粗心”，可以多玩这个游戏。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-9 10:06 编辑 ].

我要用黄金数做中点－－”鲍威尔算法(PA)“，平分没技术含量。哦，天平不行，郁闷。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-9 09:57 编辑 ].

小五生吃到肉没？
“药丸”也不完全是独立解法，可以看成是如何充分利用工具和已知条件求最优解的过程，也就是说，我们先有一个解，然后回过头来看看，条件和解之间的相互关系和影响，看看是否还有条件未能充分发挥。

出个典型的“煎饼”问题：
要煎3块饼，两面都要煎，锅小，一次只能放2块饼进去，煎熟一面需要2分钟，煎3块最少需要多少时间？

这个问题的解决过程体现了，找到起点，尝试，发现问题，解决问题的过程。如果只是有答案，没去煎的话，就无趣了。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-9 11:16 编辑 ].

Alex自制了“药丸”（纸屑）和天平（直尺和橡皮）。为了节约纸张，我把数量简化了，这点Alex是可以理解的。
平分的解法玩出来了，目前还没有玩出三分的解法。个人感觉是因为Alex没掌握记录的方法，无法进行分析。

是的，锅铲保持原来的形状，位置当然可以变换，变化以后，肉要在锅铲外面。大家聚餐的时候，Alex动作慢抢不到肉，估计会出这么一道题给别的同学先玩玩，这样他就可以一边大快朵颐，一边嘿嘿了。

跟“煎饼”是一个道理，先多移几根，把肉先弄到锅铲外面，再寻求最优解。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-9 11:46 编辑 ].

非常精彩的“药丸案”，学到很多东西。

在与Alex做这个题的过程中，我们发现4只、5只苹果的时候很值得研究：
1、几个同学在一起的时候，首先是确定别人的意见对不对，如果是对的，要从不同的角度去寻找更多的方法，切忌简单的附和。
2、2只、3只的时候引入了概念和不同的方法，4只、5只的时候要注意学会用符号记录过程，分析记录，学会从记录中寻找新的方法，评价不同方法的优劣。
3、7只、8只的时候主要是对第二步骤的深化和强化，并由此归纳出更普遍的优化方法。
4、研究告一段落时，写下只言片语的论文。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-10 17:40 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-10 17:29 发表
布鲁纳说，教是一种再好不过的学习方式。我还要说，教也是一种探究和发现的方式。 ...

这句话同样适用于儿子同学，BBMM们时不时的装傻充愣，儿子急啊，血往上拥，急不可耐地要把问题解释清楚，于是他教了，也就在另一个新的层次上学习了。.

孩子能用abc代替是非常好的，对小一而言这意味着有一定的抽象能力，但还不是代数。
要一年级自己做，基本是凑出来的。直接教代数不好。.

其实我在大学以前是相当刻苦的，属于典型的场依存型。而且是家里刻苦，上课就讲小话，老师上课的时候没少说过我边上的女同学：“你整天跟xxx讲小话，你知道他家里做多少题，背多少单词吗？”

实话说，这套方法高中以前还吃的开，上高中就住校了，前半年成绩是一塌糊涂。还好同学们都很努力，带一带，再加点自己的一点小聪明，考大学的时候也混到了班级第二名。在高中班（重点中学的重点班）上不算刻苦的，跟普通中学比也算是相当刻苦的了。要以高考成绩论成败的话，班上最刻苦的反而差一DD。

咱这种"场依存型"的到了大学就完全蒙掉了，什么都讲独立，独立思考，独立学习，甚至研究方向也可以独立选择。而直到大学快毕业了，才发现自己大学以前接触到的知识面过于狭窄，难以为继。

现在轮到跟儿子一起上小学了，主要改进几点：
1、从学习中找到兴趣，用兴趣促进学习，用兴趣带动学习。
2、养成独立性。如007所说，不确定性非常重要，BBMM们也要学会容忍不确定性，甚至容忍错误。让“建议”成为我们的口头禅，而不是“你应该”。
3、知识面更广，见识更多。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-12 18:06 编辑 ].

拿菜刀切肉，菜刀是工具；拿菜刀砍人，菜刀是凶器。同样的药丸题，如果在一堂课讲完，只能是囫囵吞枣；分到1－2年，配合已有的知识水平，就是研究。小五生以上同样可以做这道题，只是要求可以更高一些。把整个研究过程记录下来，最后要求倒过来做任意数目的药丸。学过“N”以后，还可以继续证明任意数目(6N, 6N + 1, 6N+ 2 ... 6N + 5)的药丸，三分法比二分法优，把研究记录和证明合并起来，就是一个完整的论文了。

另：我跟Alex做了这道题的时候，发现纯想象比较困难。正好去外婆家，地铁、动车上没事，用纸做了若干三角形的药丸，重的一个颜色不同（这是关键），3个很容易理解，在4－5个上也很快，但是最好多停留一些时间，反复搞清楚。
Alex做到10个，考MM，MM大呼头痛，Alex曰：“没文化。”
小二没有学借位除法，所以对大于81的数有一些情结，比较难以突破。但是循hxy007的方法，用乘法来做是可以的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-13 12:22 编辑 ].

引用:

原帖由 hxy007 于 2009-1-13 13:37 发表
　　是的，这个题目，也可以放在高中或大学来做。一般化的证明也非常有趣，而且好像证明方案不止一种。
　　希望ccpaging行个方便，走个后门把我家父子杜撰的这道题列入“中外数学名题”。

加上了，算旺旺名题了。不过您的977贴，还只能算是未完待续、、、.

从一年级暑期开始时，翻看了二年级的数学教科书，发现儿子要开始学习正方形、长方形、面积和乘法了，于是有意识的给儿子引入几何学的基础知识。当时做的时候比较零碎，下面慢慢总结一下，供参考。
注意：以下几何定义，均指平面，除非特别说明。

先转一段大学教授的大实话
三、幾何學生活應用:
日常生活應用:以畢氏定理為例。
畢氏定理:一個直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
1.設計建築房屋、設計結構與計算建材都用的到
2.測量距離、高度、深度、寬度。
3.戰爭、狙擊手、砲兵、飛彈射擊。
4.航行計畫圖、飛行計畫圖的製圖。
5.應付學校考試。
其中幾何學對於我們學習歷程上有相當大的影響

正方形和长方形
正方形和长方形的概念可以通过折纸来建立，大量的折纸游戏都是从一个正方形或者长方形开始的。折纸游戏从幼儿园大班就可以开始玩了，到了小学一年级可以提一个更高的要求：
如何把一张不规则的纸，裁出正方形或者长方形？

角度
角度在小学一、二年级没有教，但是BBMM们在刻度尺的时候，同时可以三角板和半圆的量角器。这样当同学们学习直尺上的刻度时，就会关心量角器上的刻度是什么意思。
待一年级学习看钟的时候，就可以引入90、180、360度了。
如果看有关突击队的电影，会听见突击队员叫喊：“11点钟方向有狙击手”，这时可以帮助同学理解，什么是11点钟方向，为什么要这么传递信息。
把左右转的游戏改成度数，也可以使同学们对度数的感觉更进一层。
掌握了角度的基本概念以后，可以解决更多的问题了：
1、如何把一个标准的圆形，用手撕出最大的正方形？
2、BB们带过儿子去洗澡吧？那就不要放过淋浴室的手持淋浴头，正好用来打水仗，可是淋浴头的水怎么才能冲的远呢？

实验证明三角形的内角之和等于180度
1、裁出一个古怪的三角形。不古怪，儿子没兴趣，一说搞怪，劲头就来了。
2、标出三个内角。
3、用剪刀减下三个内角，拼接在一起，“奇怪，怎么正好180度？”
4、再想一个更加古怪的三角形，再试试。
问题：
三角形里边会有2个直角吗？证明之。

长方形的面积
按照维基百科的说法：
面积是对一个平面的表面多少的测量。对立体物体表面多少的测量一般称表面积。
http://zh.wikipedia.org/wiki/面积

这个解释相当抽象，从历史上说，面积的测量是跟土地的私有化密切相关的。中国历史上也曾经发生过几次大的土地测量运行。例如康熙朝，杀鳌拜的理由之一就是侵占皇家土地，到了雍正、乾隆时，如何分配治淮、治黄后新增的土地，也曾经是一个危机到社会的大问题。当然，搞数学的人不自量力讲历史，各位也只能当八卦听听。

其实面积没那么复杂，Alex理解的面积就是数一个图形里边包含有多少个方块，当然这个方块是标准的。
1、用三角板画出某一长宽的长方形，如3厘米X4厘米。
2、画方格。
3、在学九九乘法表之前，只能数方格。
4、学乘法以后，就可以用简单的乘法计算面积。这时，同学们会猜到一个基本公式，长方形的面积 = 长 X 高。可能吧，这是个猜想，如果您觉得验证很重要，那么请验证。
5、做一个有趣的变化，随便裁一个长方形，测量长和宽，再计算面积。因为是随便裁的，所以长或者宽必然带有毫米的“须须头”，我们看看同学们会怎么解决这个“须须头”。
6、回到我们的基本公式，再次验证长方形的面积是否等于长 X 高。

平行四边形的面积

平行四边形的面积.jpg (3.82 KB)

2009-1-13 17:34

三角形的面积

三角形的面积.jpg (3.82 KB)

2009-1-13 17:37

圆的面积是否与周长有关？什么关系？
未完待续、、、

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-13 22:52 编辑 ].

引用:

原帖由 Jupiter 于 2009-1-13 15:55 发表
把我也搞晕了呢，叫小五来分析原因。。。钟声数量是倍数关系，可是间隔不是啊，多一个间隔。。。他爸爸妈妈怎么不纠正他，一家人还笑得灿烂呢？
我说别急，人家爸爸可能下次不巧碰到个啥，就开始纠错启发了。

鼓励猜测，鼓励“踹”，但是同时应该跟同学们指出，这仅仅是个猜测，仅仅是“踹”，一切的猜测都需要验证后，才能生效。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-13 17:18 编辑 ].

同学： 请问到人民公园还有几站？
售票员： 5站路
同学： 您这5站是从刚才那一站算起，还是从下一站算起？
售票员： 5站路
同学： 哦，是到第5个站头，还是过5个站头。
售票员： 5站路
同学： 、、、
旁边的绿领巾小朋友急道： 同学，请伸开你的右手，你现在拇指和食指的丫丫里边，每到一个站，就屈一个指头，数到小手指你就到人民公园了。
同学恍然大悟，暗自心想：“还好是冬天，要是夏天穿凉鞋的话，我现在岂不是在脚丫里边了。”
想到这不觉有些脸红，对小朋友道：“小朋友真聪明，你怎么知道的？”
小朋友：“我学奥数的啊！”
同学：“我都奥了十几年了啊！可是从来没有奥数老师说过，乘公共汽车也要用奥数。而且小学学过的，现在早忘了。”

于是，该同学暗下决心：“回家一定把小学的奥数题目翻出来，更加刻苦努力地再做一遍。”

这时，整个车厢一片寂静，同学在沉思，小朋友在沉思，售票员阿姨也在沉思，驾驶员在开车。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2009-1-13 23:12 编辑 ].